Question

已知二次函数y=x²-(a+1)x+a

已知二次函数y=x²-（a+1）x+a（1）试求a取何值时,抛物线与x轴只有一个公共点
（2）如图，若抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数a,使△AOC与△BOC相似？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由。。
谢谢。。

Answer 1

1）因为 y=x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)，
所以，当抛物线与x轴只有一个公共点时，方程y=0只有唯一实根x=1，
因此 a=1 。
2）因为C（0，a）位于y轴负半轴，所以 a<0 。
则A（a，0），B（1，0）。
因为AOC是等腰直角三角形，所以，若AOC与BOC相似，则 a=-1 。（相似比为1，其实就是全等）

Answer 2

y=x²-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），
（1）y=x²-（a+1）x+a=（x-a）（x-1）方程与X轴相交，y=0，有2解x=a，x=1
抛物线与x轴只有一个公共点，两个解相同a=1
（2）存在，△AOC与△BOC均为直角三角形，抛物线与Y轴相交于
令X=0，Y=a,抛物线与Y轴相交于（0，a），
令y=0，有2解x=a，x=1，抛物线与Y轴相交于（a，0），（1，0）
△A0C为等腰直角三角形，△AOC与△BOC相似，a=-1