Question

设lim(n趋向于正无穷)[(x+2a)/(x-a)]^x=8,则a=？

如题，我能看出分子改成x-a+3a然后化成e^[3ax/(x-a)]，但答案是化成了e^(3a),答案是怎么化的？谢。

Answer 1

t=1/x----->0
(x+2a)/(x-a)=(1+2at)/(1-at)---->1
ln(1+2at)/(1-at)---->0
lim(n趋向于正无穷)[(x+2a)/(x-a)]^x
=lim(t--->0)[(1+2at)/(1-at)]^(1/t)
==lim(t--->0)e^(ln(1+2at)/(1-at))/t)
=e^(lim(t--->0)(ln(1+2at)/(1-at))/t)
=e^(lim(t--->0)((1-at)/(1+2at) *(2a(1-at)+a(1+2at))/(1-at)^2)
=e^(lim(t--->0)(3a/(1+2at)(1-at))
=e^(3a/(1+2a*0)(1-a*0))
=e^(3a)
所以有：e^(3a)=8
3a=ln8
a=ln2

Answer 2

(x+2a)/(x-a)=1+3a/(x-a)

分子
x=x-a+3a=3a*(x-a)/(3a)+3a
所以答案是e^(3a)啊

Answer 3

(x+2a)/(x-a)=1+3a/(x-a) lim[(x+2a)/(x-a)]^x=lim {[1+3a/(x-a)]^(x-a)/3a}^3ax/(x-a) =e^3a=8 3a=3ln2 a=ln2!

Answer 4

利用（1+1/x）^x=e（x趋向于无穷大）这个重要的极限化简即可。