Question

如图在平面直角坐标系中,直线y=-2/3x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x交A（-1,0）

1，求B、C两点的坐标及该抛物线所对的函数关系式
2，P是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点P作直线L∥y轴，交该抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，三角形BCE的面积为S

求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围
求出S最大值，判断此时三角形OBE形状

Answer 1

解：1.在y=-2/3x+2中，令x=0,得y=2；令y=0，得x=3;所以B（3，0）、C（0，2）.设抛物线y=ax^2+bx+c,由于抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2）三点，得方程组：

a-b+c=0,……①

9a+3b+c=0,……②    解得：a=-2/3,b=8/3,c=2;抛物线方程为：y=(-2/3)x^2+(4/3)x+2;

c=2……③           对称轴为x=1.

2.因P点的横坐标为m,则可设E（m,y0）;因E在抛物线上，所以y0=(-2/3)m^2+(4/3)m+2;

因此，S（△BCE）=S（梯形OFEC）+S（△EFB）-S（△OBC）=-m^2+3m. (0＜m＜3)；

当m=3/2时，S的最大值=-9/4+9/2=9/4.当m=3/2时，F是BC的中点，△OBE是等腰三角形。

Answer 2

（1）直线y=-2/3x+2与x轴、y轴分别交于B（3，0）、C（0，2）,
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)
过点C，则有2=-3a,a=-2/3，
因此抛物线的解析式为y=(-2/3)(x+1)(x-3)=(-2/3)x²+(4/3)x+2
（2）S△BCE=S△BPE+S△CPE
△BPE和△BPE同底（PE），设两三角形PE底上的高分别为h1，h2，有h1+h2=3
由题意有P(m，2-2m/3)(0<m<3)，E(m，(-2/3)m²+(4/3)m+2)
PE=E纵坐标-P纵坐标=(-2/3)m²+2m
S△BCE=(1/2)×[(-2/3)m²+2m]×3=-m²+3m (0<m<3)
m=3/2时，Smax=9/4
此时E(3/2，5/2)，OB=3，BE=√(3/2)²+(3/2)²=3，OE=√(3/2)²+(3/2)²=3
△OBE为等边三角形

Answer 3

令y=0，得x=3.∴B（3,0）令x=0，得y=2.∴C(0,2).设y=ax²+bx+2，把B(3，0)，A(-1,0)代人求出a=-2/3,b=4/3∴y=-2/3x²+4/3x+2,
∵E（m,-2/3m²+4/3m+2).∵P在直线y=-2/3x+2，∴可设P(m,-2/3m+2),∴PE=-2/3m²+2m
S=△EPC面积+△BEP面积=PE×OF÷2+PE×BF÷2=PE×OB÷2=(-2/3m²+2m)×3÷2=-m²+3m.(0<m<3).当m=3/2时，S最大=9/4.此时△OBE为等腰三角形

Answer 4

直线y=-2/3x+2与x轴、y轴分别交于B（3,0）、C（0,2）,
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
它过点C,
∴2=-3a,a=-2/3,
∴抛物线的解析式为y=（-2/3）(x+1)(x-3)=（-2/3）x^2+(4/3)x+2,
线段BC:x/3+y/2=1,即2x+3y-6=0(0<=x<=3),
∴P(m,2-2m/3)(0<m<3),
E(m,（-2/3）m^2+(4/3)m+2)到BC的距离h
=|6m-2m^2|/√13，
|BC|=√13，
∴三角形BCE的面积为S=3m-m^2(0>m>3),
m=3/2时S最大值=9/4，这时E(3/2,5/2),OE=BE,三角形OBE为等腰三角形。

Answer 5

m=3/2时S最大值=9/4，这时E(3/2,5/2),OE=BE,三角形OBE为等腰三角形