Question

F(x)=[1/x-(x+1)/sinx] 当x-->0时,求极限F(x);详解.

求过程

Answer 1

这是一个∞-∞型极限 需要通分以后用洛比达法则 另外当x→0 sinx/x→1
∴limx→0 F(x)=limx→0 (1/x-1/sinx)+limx→0 x/sinx =limx→0 (1/x-1/sinx)-1
limx→0 (1/x-1/sinx)是∞-∞型极限 需要通分以后用洛比达法则
∴ limx→0 (1/x-1/sinx) = limx→0 (sinx-x)/(xsinx) 【这里因为x~sinx (x→0 ) 等价无穷小替换】 =limx→0 (cosx-1)/2x 这个仍然是0/0型 洛比达一下~
=limx→0 （-sinx）/2 = 0/2 = 0
∴ limx→0 F(x)=limx→0 (1/x-1/sinx)-1 = 0-1 = -1

Answer 2

本题主要题考查的是一个重要的知识点：当x-->0时，sinx/x=1的知识点
当x-->0时，
F(x)=1/x-(x+1)/sinx，sinx替换为x
=1/x-(x+1)/x
=(1-x-1)/x
=-1
注意：sinx在本题中可以换为x，但是如果sinx和x通过减运算组成高阶无穷小形式的分式，就不能随意替换了，这类问题要特别注意，比如x-->0,求（sinx-x）/x^^3，此时就要运用洛比达法则了。

Answer 3

= -1