Question

已知函数f(x)=ln(x+1)/(x-1)，附图

Answer 1

（1),x+1/x-1＞0
x＞1或x＜-1

f(-x)=ln(1-x/-x-1)=ln(x-1/x+1)=ln［(x+1/x-1)^-1］=-(lnx+1/x-1)
则f(x)为奇函数。

3.因为f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]=ln[1+2/(x-1)]
所以函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数，在(1,+∞)上也是减函数
对于X∈【2，6】，f(x)=[(x+1)/(x-1)]>ln{m/[(x+1)*(7-x)]}恒成立
则(x+1)/(x-1)>m/[(x+1)*(7-x)]
因为x+1>0，所以上式可化为：
1/(x-1)>m/(7-x)
即1/(x-1) -m/(7-x)>0
通分得：
(7-x-mx+m)/[(x-1)(7-x)]>0
即[(-x+1)m+7-x]/[(x-1)(7-x)]>0
因为x-1>0且7-x>0
所以上式可化为：
(-x+1)m+7-x>0
即(1-x)m>x-7
两边同乘以－1,可得：
(x-1)m>x-7
则m>(x-7)/(x-1) (*)
又(x-7)/(x-1)=1-6/(x-1)且2≤x≤6，
则当x=2时，(x-7)/(x-1)有极小值－5
当x=6时，(x-7)/(x-1)有极大值－1/5
要使(*)式对于任意X∈【2，6】都成立，须使得：m>-1/5
所以m的取值范围是：m>-1/5

4.因为f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]=ln(x+1)-ln(x-1)
所以f(2)+f(4)+f(6)+·····+f(2n)
＝(ln3-ln1) +(ln5-ln3)+(ln7-ln5)+...+[ln(2n-1)-ln(2n-3)]+[ln(2n+1)-ln(2n-1)]
=ln(2n+1)
令g(n)=ln(2n+1) -(2n+2n²)
则g'(n)=2/(2n+1) -(2+4n)，其中n∈N
=[2/(2n+1)]*[1-(2n+1)²]
因为n∈N，所以2n+1>0且1-(2n+1)²<0
则g'(n)<0
所以函数g(n)在n∈N上是减函数
则当n=1时，g(n)有最大值ln3－4<0
所以对于任意n∈N，g(n)<0
即ln(2n+1) -(2n+2n²)<0
ln(2n+1) <(2n+2n²)
所以当n∈N时，f(2)+f(4)+f(6)+·····+f(2n)<2n+2n²

追问

先谢谢你，打这么长，辛苦了。我觉得第二题好像做错了，是ln{m/[(x-1)*(7-x)]}，
你看成ln{m/[(x+1)*(7-x)]}了吧，
然后第三题，连续设g（n）和g'(n)都有点不知道是要干什么了，可以说一下第三小题的解题思路吗？谢了

追答

= =这我什么时候做的= =好纠结……

Answer 2

第二问，首先它是增函数所以(x+1)/(x-1)>m/(x-1)(7-x),可得-X^2+6x+7>m x∈（2,6）则该函数值最小值是7，又因为m>0(指数函数㏑a^X,X>0)可得0<m<7