Question

已知过点A（-4,0）的动直线L与抛物线C：X平方=2PY（p＞0）相交于B.C两点

已知过点A（-4,0）的动直线L与抛物线C：X平方=2PY（p＞0）相交于B.C两点。当L得斜率是1\2时，向量AC=4向量AB (1)求抛物线G的方程（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围。为什么是范围？

Answer 1

因为直线L是动直线

设动直线L的斜率为k，线段BC的中点为M，则M坐标（Xb+Xc/2，Yb+Yc/2）
直线L方程：y=k(x+4)，与抛物线方程联立，消去y，得x²/4-kx-4k=0·······（1），
根据韦达定理，Xb+Xc=4k，则Xb+Xc/2=2k，Yb+Yc/2=kXb+4k+kXc+4k/2=2k²+4k，于是M坐标（2k，2k²+4k）
线段BC的中垂线斜率为-1/k，所以其方程为y-(2k²+4k)=(-1/k)(x-2k)
令x=0，y的值即为b，于是b=2k²+4k+2=2(k+1)²
动直线L与抛物线C需要有两个交点，方程（1）△＞0，求出k的取值范围(-∞，-4)∪(0，+∞)
所以b的取值范围为(2，+∞)

Answer 2

设直线方程为y=1/2*(x+4) 和抛物线联立
则x^2=2p(1/2*(x+4)) →x^2-px-4p=0
Xc+Xb=p（1） Xc*Xb=-4p（2）
向量AC=4向量AB → （Xc+4，Yc）=4（Xb+4，Yb）
Xc=4Xb+12 分别带入（1）（2）
化简得出Xb=-2 Xb=-6 但p>0
所以去Xb=-2 得出p=2
所以抛物线方程为x^2=4y

设BC中垂线为l2 则l2斜率为-2 且通过（1，5/2）
所以l2就是y=-2（x-1）+5/2
在y轴上截距为9/2