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若不等式|X-a|-|X|<2-a^2,对x∈R 恒成立,则实数 a的取值范围是
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不等式|x-a|-|x|<2-a²对一切实数恒成立,则2-a²>【|x-a|-|x|】的最大值即可。
由于:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,则|x-a|-|x|同样有:|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,即:
|x-a|-|x|的最大值是|a|,所以有:
2-a²>|a|,
即:|a|²+|a|-2<0
(|a|+2)(|a|-1)<0
等价于:|a|<1
得:-1<a<1
由于:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,则|x-a|-|x|同样有:|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,即:
|x-a|-|x|的最大值是|a|,所以有:
2-a²>|a|,
即:|a|²+|a|-2<0
(|a|+2)(|a|-1)<0
等价于:|a|<1
得:-1<a<1
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利用绝对值/三角不等式 |a|-|b|<=|a-b|
|x-a|-|x|<=|x-a-x|=|a|
所以只需
|a|<2-a^2=2-|a|^2
|a|^2+|a|-2<0
-2<|a|<1
因为0<=|a|
所以0<=|a|<1
所以a∈(-1,1)
|x-a|-|x|<=|x-a-x|=|a|
所以只需
|a|<2-a^2=2-|a|^2
|a|^2+|a|-2<0
-2<|a|<1
因为0<=|a|
所以0<=|a|<1
所以a∈(-1,1)
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不等式|X-a|-|X|<2-a^2,对x∈R 恒成立
=>在|X-a|-|X|取极大值也成立
极大值为|X-a|-|X|<=|x-a-x|=|a|
=>|a|<2-a^2
=>1>|a|>-2
=>1>a>-1
=>在|X-a|-|X|取极大值也成立
极大值为|X-a|-|X|<=|x-a-x|=|a|
=>|a|<2-a^2
=>1>|a|>-2
=>1>a>-1
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