Question

若不等式|X-a|-|X|<2-a^2,对x∈R 恒成立,则实数 a的取值范围是

Answer 1

不等式|x－a|－|x|<2－a²对一切实数恒成立，则2－a²>【|x－a|－|x|】的最大值即可。
由于：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，则|x－a|－|x|同样有：|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|=|a|，即：
|x－a|－|x|的最大值是|a|，所以有：
2－a²>|a|，
即：|a|²＋|a|－2<0
(|a|＋2)(|a|－1)<0
等价于：|a|<1
得：－1<a<1

Answer 2

利用绝对值/三角不等式 |a|-|b|<=|a-b|
|x-a|-|x|<=|x-a-x|=|a|
所以只需
|a|<2-a^2=2-|a|^2
|a|^2+|a|-2<0
-2<|a|<1
因为0<=|a|
所以0<=|a|<1
所以a∈(-1,1)

Answer 3

不等式|X-a|-|X|<2-a^2,对x∈R 恒成立
=>在|X-a|-|X|取极大值也成立
极大值为|X-a|-|X|<=|x-a-x|=|a|
=>|a|<2-a^2
=>1>|a|>-2
=>1>a>-1