Question

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2 若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围

不好意思，上面打错了，函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2 更改为“函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 ”

Answer 1

若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

Answer 2

e^x-1-x-ax^2≥0 则e^x-1≥x+ax^2
则需 e^x-1≥x（1+ax）
由于X≥0 ，则e^x-1无限趋近于0
则需 0≥x（1+ax）所以需 1+ax≤0
则需 a≤-1/x 当x≥1时，-1≤a≤0 当x≤1时，a≤-1

Answer 3

解：
f(x)=e^x-1-x-ax^2 ==> f(0) = e^0 -1-0 -a*0 = 0
如果f(x) 在(0, +∞) 上是增函数，那么对于任意 x>0，有：
f(x) > f(0) ==>f(x) > 0
从而在[0， +∞) 上使 f(x) ≥ 0
f'(x) = e^x -1 - 2ax
同样 f'(0) =0；若在(0, +∞) f''(x) > 0，则f‘(x) > 0
f''(x) = e^x - 2a
令 f''(x) > 0, 则 2a ≤e^0< e^x ==> a ≤ 1/2
因此当a≤ 1/2 时，f(x) 在(0, +∞) 上是增函数，从而 x ≥ 0 时
f(x) = e^x-1-x-ax^2 ≥ 0

追问

请问这句"从而在[0， +∞) 上使 f(x) ≥ 0"是什么意思，为什么 f''(x) > 0, 则 2a ≤e^0< e^x， 谢谢！

追答

因为判断增减性用的是开区间，未包括 x=0点，开区间能保证f(x)>0, 端点f(0)=0 ，能保证不等式的等号成立。

追问

那为什么 f''(x) > 0, 则 2a ≤e^0< e^x

追答

因为 f‘’(x)=e^x-2a > 0 ==>a 0时 1/2*e^x的极限，即1/2*e^0 = 1/2; 并且由于是在开区间讨论，当a=1/2 时能能够保证f''(x)>0 ，而不是 >=0；