Question

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2 若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围

Answer 1

若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

Answer 2

解：
f(x)=x(e^x-1)-ax² ==> f(0) = 0
如果f(x) 在(0, +∞) 上是增函数即f‘(x)>0，那么对于任意 x>0，有：
f(x) > f(0) ==>f(x) > 0
从而在闭区间 [0， +∞) 上使 f(x) ≥ 0
f'(x) = (x+1)e^x -1 - 2ax ==> f'(0) = 0
同理，若在(0, +∞) f''(x) > 0，则可保证在[0， +∞)上f‘(x) ≥ 0
f''(x) = xe^x +2e^x- 2a
令 f''(x) > 0 在(0, +∞)上恒成立, 则 2a ≤2e^0< xe^x +2e^x ==> a ≤ 1
当a≤ 1 时，f(x) 在(0, +∞) 上是增函数，从而 x ≥ 0 时
f(x) = x(e^x-1) - ax² ≥ 0

结论：a 的取值范围是 a≤ 1

Answer 3

思路：分离参数。
x=0时，f(0)=0，f(x)≥0成立；
当x>0时，f(x)≥0可化为
a≤(e^x-1)/x
令 g(x)=(e^x-1)/x，
则 a≤[g(x)]min，x>0
而 g'(x)=[xe^x-(e^x-1)]/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
令h(x)=(x-1)e^x+1，x≥0
h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x≥0
所以 h(x)在[0，∞)是增函数，h(x)≥h(0)=0
从而g'(x)=h(x)/x²≥0，g(x)在(0，∞)是增函数。
所以a≤lim(x→0)g(x)=0
即 a≤0

Answer 4

解：
f(x)=e^x-1-x-ax^2 ==> f(0) = e^0 -1-0 -a*0 = 0
如果f(x) 在(0, +∞) 上是增函数，那么对于任意 x>0，有：
f(x) > f(0) ==>f(x) > 0
从而在[0， +∞) 上使 f(x) ≥ 0
f'(x) = e^x -1 - 2ax
同样 f'(0) =0；若在(0, +∞) f''(x) > 0，则f‘(x) > 0
f''(x) = e^x - 2a
令 f''(x) > 0, 则 2a ≤e^0< e^x ==> a ≤ 1/2
因此当a≤ 1/2 时，f(x) 在(0, +∞) 上是增函数，从而 x ≥ 0 时
f(x) = e^x-1-x-ax^2 ≥ 0

Answer 5

当 x ≥ 0 时
f(x) ≥ 0
x(e^x-1)-ax^2 ≥ 0
x(e^x-1) ≥ ax^2
e^x-1 ≥ ax
e^x ≥ ax + 1
x ≥ ln （ax + 1）

追问

那a的范围呢？