Question

cot(x)的8次方求不定积分 要过程，请高手指点。

Answer 1

不多说，用归约公式：
I_(n) = ∫ cot^n(x) dx = -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
∴∫ cot^8(x) dx，连续使用归约公式
= (-1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot³x + cotx + x + C

归约公式的证明：
∫ cot^n(x) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * cot²x dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * (csc²x-1) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * csc²x dx - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -∫ cot^(n-2)(x) d(cotx) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^[(n-2)+1](x) / [(n-2)+1] - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx

追问

貌似答案不对啊

追答

标准方法是拆开被积函数：
∫ cot^8(x) dx
= ∫ cot^6(x) * cot^2x dx
= ∫ cot^6(x) * (csc^2x-1) dx
= ∫ cot^6(x) * csc^2x dx - ∫ cot^6x dx
= -∫ cot^6(x) d(cotx) - ∫ cot⁴x * cot^2x dx
= -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * (csc^2x-1) dx
= -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * csc^2x + ∫ cot⁴x dx
= -(1/7)cot^7(x) + ∫ cot⁴x d(cotx) + ∫ cot^2x * (csc^2x-1) dx
= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) + ∫ cot^2x * csc^2x dx - ∫ cot^2x dx
= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - ∫ cot^2x d(cotx) - ∫ (csc^2x-1) dx
= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x - ∫ csc^2x dx + ∫ dx
= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x + cotx + x + C