Question

已知函数y=x3+px2+qx,其图像与x轴切于非原点的一点《且y极小值=-4，那么p,q的值分别是

令y=0后，因为x不等于0所以消去一个x，为什么就可以说判别式=0？明明两个交点啊

如果用x1和x2分别表示切点横坐标和y=-4时候的横坐标，两式想减最后化简得到根号（p^2-3q）*(3q-p^2)=1，这是怎么回事，这个式子不成立啊

Answer 1

函数y=x*3+px*2+qx的图象与x轴切于非原点的一点
y=x*3+px*2+qx=x(x^2+px+q)=0
表明3x^2+2px+q=0只有1个实数解
判别式=4p^2-12q=0

y的极小值为-4

y'=0
3x^2+2px+q=0
3x^2+2px+p^2/4=0
x1=-p/6
x2=-p/2

当x1=-p/6
y=(-p/6)^3+p(-p/6)^2+p^2(-p/6)/4=-4
-p^3+6p^3-9p^3=-864
p^3=216
p=6,
q=p^2/4=9

当x1=-p/2
y=(-p/2)^3+p(-p/2)^2+p^2(-p/2)/4=-4
-p^3+2p^3-p^3=-32(不成立，舍去)

所以
p=6
q=9

Answer 2

切点我们可以理解成两个交点无限接近，即重合

p=6,q=9

Answer 3

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