Question

求函数y=x^2-2ax-1在[0,2]上的值域

具体说明下：为什么a要分段讨论
谢谢

Answer 1

分析：由于对称轴为x=a，故必须讨论区间[0，2]与对称轴的位置关系，才能确定y在[0，2]上的最大值和最小值。
由于y=x²-2ax-1开口向上，从而离对称轴远的函数值较大，离对称近的函数值较小。
（1）当a≤0时，区间[0，2]在对称轴的右边，y是增函数，当x=0时，y的最小值为-1，当x=2时，y的最大值为3-4a；即值域为[-1，3-4a];
（2）当0<a≤1时，对称轴经过区间[0，2]，当x=a时，y的最小值为-a²-1，
由于2离对称轴较远，故当x=2时，y的最大值为3-4a；即值域为[-a²-1，3-4a];
（3）当1<a≤2时，对称轴经过区间[0，2]，当x=a时，y的最小值为-a²-1，
由于0离对称轴较远，故当x=0时，y的最大值为-1；即值域为[-a²-1，-1];
（4）当a>2时，区间[0，2]在对称轴的左边，y是减函数，当x=2时，y的最小值为3-4a，当x=0时，y的最大值为-1，即值域为[3-4a，-1]。