Question

sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的，求原理和具体过程

RT

Answer 1

设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)设∠CAB=α，∠DAB=β(如图1)，则AC=cosα，BC=sinαAD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)

Answer 2

两角和的余弦公式： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； (思路:在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式来推导) 作∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。 则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）； C[cos（α+β），sin（α+β）]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2； =cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）； =2-2 cos（α+β）。 AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2； =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β； =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ