Question

试讨论当a,b为何值时β可由a1,a2,a3唯一线性表示，并求出表示式β不能由a1,a2,a3线性表示？β可由a1,a2,a3

a1=(1,2,0)T, a2=(1,a+2,-3a)T, a3=（-1，-b-2,a+2b）T,β=（1,3，-3）T，试讨论当a,b为何值时β可由a1,a2,a3唯一线性表示，并求出表示式β不能由a1,a2,a3线性表示？β可由a1,a2,a3线性表示，但是表示不唯一？并求出一般表示。

Answer 1

解: 问题即线性方程组 (a1,a2,a3)X=β 解的存在性.
(a1,a2,a3,β) =
1 1 -1 1
2 a+2 -b-2 3
0 -3a a+2b -3

r2-2r1
1 1 -1 1
0 a -b 1
0 -3a a+2b -3

r3+3r2
1 1 -1 1
0 a -b 1
0 0 a-b 0

当a≠0且a≠b时, β可由a1,a2,a3唯一线性表示
当a=0时
(a1,a2,a3,β)-->
1 1 -1 1
0 0 -b 1
0 0 -b 0

r3-r2
1 1 -1 1
0 0 -b 1
0 0 0 -1

此时方程组无解, 故β不能由a1,a2,a3线性表示.

当a=b≠0时
(a1,a2,a3,β)-->
1 1 -1 1
0 a -a 1
0 0 0 0

r2*(1/a),r1-r2
1 0 0 1-1/a
0 1 -1 1/a
0 0 0 0

此时β可由a1,a2,a3线性表示，但是表示不唯一
一般表示: β=(1-1/a)a1+(k+1/a)a2+ka3.

Answer 2

1, a不等于b的时候且a不等于0的时候 β=（1-1/a）a1+(1/a)a2+0*a3 表示唯一
2，当a=b的时候， β=0*a1+(k+1)a1+k*a3，k为任意实数 表示不唯一