Question

设非零向量β可由a1，a2，…，ar线性表示，但不能由a1，a2，…，ar-1线性表示,试证

向量组a1，a2，…，ar-1，β与a1，a2，…，ar等价，具体过程谢谢

Answer 1

设 b=k1a1+k2a2+.........+krar 。显然 kr ≠ 0 ，因为如果 kr=0 ，那么 b 就可以用 a1、a2，。。。，a(r-1) 线性表出了 。
（1）由于 a1=a1，a2=a2，。。。，a(r-1)=a(r-1) ，b=k1a1+k2a2+.....+kra4 ，
因此向量组 ｛a1，a2，... ，a(r-1) ，b｝可由｛a1，a2，...... ，ar｝线性表出；
（2）由于 a1=a1 ，a2=a2，。。。，a(r-1)=a(r-1) ，ar=(b-k1a1-k2a2-......-k(r-1)a(r-1))/kr ，
所以向量组｛a1，a2，... ，ar｝可由｛a1，a2，... ，a(r-1)，b｝线性表出 。
这就说明它们两个等价 。