Question

设连续函数f（x）的原函数为F（x），证明：若F（x）为周期函数，则f（x）也为周期函数。怎么证明呢？？

另外，怎么证明：若f（x）为周期函数，则F（x）也为周期函数，是粗错误的？

Answer 1

设f(x)=f(x+T) T为周期
∫f(x)dx=∫f(x+T)dx=∫f(x+T)d(x+T)
F(x)=F(x+T) 周期函数

f(x)为周期函数，f(x)=f(x+T)
f(x)+a=f(x+T)+a
所以f(x)+a也是周期函数

∫[f(x)+a]dx=F(x)+ax
F(x)是周期函数，如果a≠0,F(x)+ax就不是周期函数了。

书上是正确的.
周期函数的原函数不一定是周期函数。

Answer 2

f(x)=dF(x)/dx=(F(x+dx)-F(x))/dx
f(x+T)=(F(x+T+dx)-F(x+T))/dx==(F(x+dx)-F(x))/dx=f(x)
说明：T是F(x)的周期，F(x+dx)-F(x)就是F(x+增量x)-F(x)取极限的代写，很多情况下得用导数的定义来证明

反证：f(x)=|sinx|, F(x)肯定是单调递增的，因为其导数不为负

Answer 3

祝好

Answer 4

详见图片！