Question

初二数学题

如图，已知直线l1的解析式为y=-3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线 经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线 从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（1<t<3）。）
(1)设四边形ABQP的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；并回答当P点运动几秒时，四边形ABQP的面积最小。
（2）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

Answer 1

解答：
⑴由L1的直线方程可以求得它与两个坐标轴的交点坐标﹙只要分别令x=0，y=0﹚分别是：
A﹙2，0﹚，B﹙0，6﹚，
又L2经过B、C﹙8，0﹚两点，∴由待定系数法可以求得L2直线方程为：
y=－¾x＋6，
∴OA=2，OC=8，AP=2t，∴OP=2＋2t，∴PC=6－2t，QC=2t，
过Q点作X轴垂线，垂足为H点，
设OH=m，QH=n，∴HC=8－m，
则Q点坐标为Q﹙m，n﹚，
∴由Q点在BC直线上及勾股定理得：
①n=－¾m＋6，
②n²＋﹙8－m﹚²=﹙2t﹚²，
解得：m=8±﹙8／5﹚t，∵1＜t＜3，
∴m=8－﹙8／5﹚t，
∴n=﹙6／5﹚t，
∴四边形BAPQ面积S
=△BAC面积－△PQC面积
=½×AC×OB－½×PC×QH
=½×6×6－½×﹙6－2t﹚×﹙6／5﹚t
=﹙6／5﹚t²－﹙18／5﹚t＋18
=﹙6／5﹚﹙t－3／2﹚²＋153／10，
∴只有当t=3／2秒时，S最小=153／10。
⑵由P、Q两点坐标及两点距离公式得
③QP²=[8－﹙8／5﹚t－﹙2＋2t﹚]²＋[﹙6／5﹚t－0]²，
PC=6－2t，QC=2t，
下面分三种情况讨论：
Ⅰ：令PC=QC，则6－2t=2t，∴t=3／2秒时是等腰△，
Ⅱ：令QP=QC，则QP²=﹙2t﹚²代入③解得：t=15／13秒，
Ⅲ：令QP=PC，则QP²=﹙6－2t﹚²代入③解得：t=24／11秒，
综上：t=3／2或15／13或24／11秒时，△QPC都是等腰△。

Answer 2

(1)因为直线 y=－3x+6与x轴、y轴分别相交于A、B两点
所以 A(2，0），B(0，6)，
又因为直线L2 经过B、C两点，点C的坐标为（8，0）
所以l2解析式：y = -3x/4 + 6，
因为CP=6-2t，CQ=2t,
过点Q作QM⊥BO ， QN⊥CO
所以 QN ＝6/5 t，
所以四边形ABQP的面积：
S ＝S△ABC－S△CPQ
＝18－1/2(6-2t)(6/5 t)
＝ 6/5 (t² - 3t)+18
＝ 6/5 (t - 3）² +15.3(0＜t＜3）
当 t＝3/2时，S有最小值15.3；
（2）可分三种情况：
①当CP=CQ时，即6-2t=2t，得t=1.5(秒)
②当QP=QC时，即(6-2t)/2 ：2t=3：5，t=15/11(秒)
③当PC=PQ时，即t/(6-2t)=4/5，t=24/13(秒)

Answer 3

P点坐标（2+2t，0)，l2的方程为y-6=-kx，即0-6=-8k k=3/4 l2方程为y=-3x/4+6
则：sinC=6/√(6²+8²)=6/10=3/5，cosC=8/10=4/5
Q点坐标为(8-3t*3/5，2t*4/5)，即(8-9t/5，8t/5)
四边形ABQP面积=△ABC面积-△CPQ面积=[(8-2)*6-(8-2-2t)*8t/5]/2=8(t-3/2)²/5 +72/5
当t=3/2时四边形ABQP的面积最小。

CQ=2t CP=6-2t 当t=3/2时，CQ=CP，△PCQ为等腰三角形
PQ=√[(2t*3/5)²+(6-2t-2t*4/5)²]=√(10t²-6t+25) *6/5 PQ不可能等于CQ或CP

Answer 4

(1): 首先求出每个点的坐标:
A(2，0) B(0，6) C(8，0) P(a,0) Q(b,c)
a=2+2t
l2的解析式:y=-0.75x+6 Q点移动速度为2， 那么Q向下移动的速度为2*.06=1.2，向右移动速度为 2*0.8=1.6 推出: b=1.6t c=6-1.2t
S=△BAC-△QPC=0.5*6*(8-2)-0.5*c*(8-a)=-1.2t的平方+9.6t
S=-1.2(t-4)的平方+19.2 1<t<3 明显t=1时面积最小.

(2) QC=BC-2t=10-2t PC=8-a=6-2t PQ的平方=(a-b)的平方+c的平方=1.6t的平方-12.8t+40
当QC=PC时, 10-2t=6-2t 无解.
当QC=PQ时, (10-2t)的平方=1.6t的平方-12.8t+40, 解得t=3或25, 所以t=3
当PC=PQ时, ( 6-2t)的平方=1.6t的平方-12.8t+40, 解得t=5或-1/3 不符合.
结论:t=3时为等腰.