Question

三角函数题目

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c。函数f(x)=4sin^2（2分之x）+cos2x+（2分之1），若f(A)=1 ①求角A的大小 ②若a=根3，试判断b·c取得最大值时候△ABC的面积

Answer 1

[[[1]]]
[1]∵cosx=1-2sin²(x/2)
∴2sin²(x/2)=1-cosx
∴4sin²(x/2)=2-2cosx
[2]
cos2x=2cos²x-1
[3]
函数f(x)=2-2cosx+2cos²x-1+(1/2)
=2cos²x-2cosx+(3/2)
由题设可得
f(A)=2cos²A-2cosA+(3/2)=1
∴上式两边同乘以2，整理可得
(2cosA-1)²=0
∴cosA=1/2
结合0º＜A＜180º可知
A=60º
[[[[2]]]]
由余弦定理可得
1/2=cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
∴bc=b²+c²-a²
=b²+c²-3
∴b²+c²-bc=3
由基本不等式可得
b²+c²≥2bc
∴b²+c²-bc≥bc
结合b²+c²-bc=3可得
bc≤3,
易知，等号仅当b=c=√3时取得
∴（bc)max=3
此时, b=c=√3
∴此时⊿ABC为等边三角形，边长=√3
∴此时面积S=(√3/4)×(√3)²
=(3√3)/4

Answer 2

①sin^2(A/2)=(1-cosA)/2，cos(2A)=2cos^2(A)-1
∴ f(A)=4sin^2(A/2)+cos(2A)+1/2=2(1-cosA)+2cos^2(A)-1+1/2=1
令cosA=x，有2x^2-2x+1/2=0，即（x-1/2）²=0，
∴ x=cosA=1/2，A=60°（0＜A＜180°）
②由余弦定理，2bc*cosA=b²+c²-a²，即bc=b²+c²-3
变换得 b²+c²-2bc=(b-c)²=3-bc，bc=3-(b-c)²，bc取最大值，则b=c，bc=3
S△=1/2*BC*sinA=1/2*3*√3/2=3√3/4

Answer 3

f(x)=4sin^2（x/2）+cos2x+1/2
=4*(1-cosx)/2+2(cosx)^2-1+1/2
=2(cosx)^2-2cosx+3/2
f(A)=2(cosA)^2-2cosA+3/2=1
4(cosA)^2-4cosA+1=0
(2cosA-1)^2=0
cosA=1/2
因0<A<180°
A=60°
由正弦定理，b/sinB=c/sinC=a/sinA=3^0.5/si60°=2
b/sinB*c/sinC2*2
bc=4sinBsinC=-4[cos(B+C)-cos(B-C)]/2=-2[cos(180°-A)-cos(B-C)]=2cos(B-C)+1
因|B-C|<180°-A=120°
则当B-C=0时，最大值bc=3
S△ABC=1/2bcsinA=3/4*3^0.5(四分之三倍根号三）

Answer 4

f(x)=2(1-cosx)+2cos^2 x -1 +1/2
=2cos^2 x -2cosx+3/2
f(A)=1, 2cos^2 A -2cosA+3/2=1, cosA=1/2, A=Pai/3

sinA=3^0.5/2
b/sinB=c/sinC=a/sinA=2
bc=4sinBsinC=2[cos(B-C)-cos(B+C)]=2[cos(B-C)+cosA]=2cos(B-C)+1
当B+C=Pai/3时 bc=3最大
S(ABC)=1/2bcsinA=3√3/4