Question

∫(2sinx+cosx)/(sinx+2cosx）dx

Answer 1

令 cosx + 2sinx = A(sinx + 2cosx) + B(cosx - 2sinx)
cosx + 2sinx = (2A + B)cosx + (A - 2B)sinx
2A + B = 1
A - 2B = 2
=> A = 4/5，B = -3/5
cosx + 2sinx = (4/5)(sinx + 2cosx) - (3/5)(cosx - 2sinx)

∫ (cosx + 2sinx)/(sinx + 2cosx) dx
= (4/5)∫ dx - (3/5)∫ (cosx - 2sinx)/(sinx + 2cosx) dx
= (4/5)x - (3/5)∫ d(sinx + 2cosx)/(sinx + 2cosx)
= (4/5)x - (3/5)ln|sinx + 2cosx| + C

追问

怎么想到令 cosx + 2sinx = A(sinx + 2cosx) + B(cosx - 2sinx)???

追答

A(sinx + 2cosx)，可以直接消除分母，剩下分子
B(cosx - 2sinx)，積分後就是(sinx + 2cosx)，配合公式∫ f'(u)/f(u) du = ln|f(u)|
其中分子f'(u) = cosx - 2sinx，分母f(u) = sinx + 2cosx

如果分母有常數項的話，那就設A(sinx + 2cosx) + B(cosx - 2sinx) + C了
這個方法是最快的
當然也可以用萬能代換法，不過很複雜而已。