Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2

（1）证明BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥N－AMC的体积；（3）在线段PD上是否存在一点E，使得NM平行平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD BC在平面ABCD内 ∴PA⊥BC
在三角形ABM中 AB=2 BM=1 ∠ABC=60º
由余弦定理得AM=√3 满足勾股定理
∴AM⊥BC
又AM∩NA＝A AM、NA在平面ANM中
∴BC⊥平面AMN
（2）∵PA⊥平面ABCD
∴PA为平面AMC的高
由（1）知AM⊥BC
V三棱锥=1/3(1/2×AM×MC)×AN=1/3(1/2×√3×1)×1=√3/6
（3）存在 假设E为PD中点 又N为PA中点
∴NE∥AD NE=1/2AD
由题知AD∥BC AD＝BC
M为BC中点 ∴MC=1/2BC
∴ NE∥MC NE=MC
得四边形NMCE为平行四边形 NM∥EC
NM不在平面ACE EC在平面ACE
∴NM∥平面ACE ∴E为中点成立
PD=√（PA^2+AD^2）=2√2
∴ PE=1/2PD=√2