Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD= 2

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD= 2 ，CD=1．（1）证明：MN ∥ 平面PCD；（2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE， 由已知M，N分别是PA，BC的中点， ∴ME ∥ PD，NE ∥ CD 又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E， 所以，平面MNE ∥ 平面PCD，（2分） 所以，MN ∥ 平面PCD（3分） （2）证明：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥DA，PD⊥DC， 在矩形ABCD中，AD⊥DC， 如图，以D为坐标原点， 射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系（4分） 则D（0，0，0），A（ 2 ，0，0），B（ 2 ，1，0）C（0，1，0），P（0，0， 2 ）（6分） 所以M（ 2 2 ，0， 2 2 ）， BD =(- 2 ，-1，0) ， MC =(- 2 2 ，1，- 2 2 ) （7分） ∵ MC ? BD =0，所以MC⊥BD（8分） （3）因为ME ∥ PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC， 所以BD⊥平面MCE， 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，（9分） 由已知 E( 2 2 ，0，0) ， 所以平面PBD的法向量 EC =(- 2 2 ，1，0) （10分） M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA， 又CD⊥平面PAD，AB ∥ CD， 所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM， 所以DM⊥平面PAB，（11分） 所以平面PAB的法向量 MD= （- 2 2 ，0， - 2 2 ） 设二面角A-PB-D的平面角为θ， 则 cosθ= EC ? MD | EC || MD | = 6 6 ． 所以，二面角A-PB-D的余弦值为 6 6 ．（12分）