Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PC

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求三棱锥A-PDE的体积；（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA ∥ 平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥AD．（2分） 又因为ABCD是矩形， 所以AD⊥CD．（3分） 因为PD∩CD=D， 所以AD⊥平面PCD． 又因为PC?平面PCD， 所以AD⊥PC．（5分） （Ⅱ）因为AD⊥平面PCD， 所以AD是三棱锥A-PDE的高． 因为E为PC的中点，且PD=DC=4， 所以 S △PDE = 1 2 S △PDC = 1 2 ×( 1 2 ×4×4)=4 ．（7分） 又AD=2， 所以 V A-PDE = 1 3 AD? S △PDE = 1 3 ×2×4= 8 3 ．（9分） （Ⅲ）取AC中点M，连接EM，DM， 因为E为PC的中点，M是AC的中点， 所以EM ∥ PA． 又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM， 所以PA ∥ 平面EDM．（12分） 所以 AM= 1 2 AC= 5 ． 即在AC边上存在一点M，使得PA ∥ 平面EDM，AM的长为 5 ．（14分）