Question

在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+b交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=x交AB于点P，且SΔAOP=8/3.

是否存在直线x=a交x轴于C，交OP于D，交AB于E。
使得CD=2DE？若存在，求a的值；若不存在，说明理由

Answer 1

令y＝－（1/2）x＋b中的y＝0，得：x＝2b，∴点A的坐标是（2b，0）。
联立：y＝－（1/2）x＋b、y＝x，消去x，得：y＝－（1/2）y＋b，∴y＝2b/3。
∴点P的坐标是（2b/3，2b/3）。
依题意，有：△AOP的面积＝（1/2）｜2b｜｜2b/3｜＝8/3，∴b^2＝4，∴b＝±2。
∴AB的方程是y＝－（1/2）x＋2，或y＝－（1/2）x－2。

一、当AB的方程为y＝－（1/2）x＋2时，
　　联立：y＝－（1/2）x＋2、x＝a，消去x，得：y＝－（1/2）a＋2。
　　∴点E的坐标是（a，－（1/2）a＋2）。
　　联立：y＝x、x＝a，得：x＝y＝a，∴点D的坐标是（a，a）。
　　∴｜CD｜＝｜a｜、｜DE｜＝｜－（1/2）a＋2－a｜。
　　∴若存在满足条件的直线x＝a，则有：｜a｜＝2｜－（1/2）a＋2－a｜，
　　∴｜a｜＝｜4－3a｜，∴a＝4－3a，或a＝3a－4。
　　由a＝4－3a，得：a＝1。　由a＝3a－4，得：a＝2。
　　∴此时a的值为 1 或 2。

二、当AB的方程为y＝－（1/2）x－2时，
　　联立：y＝－（1/2）x－2、x＝a，消去x，得：y＝－（1/2）a－2。
　　∴点E的坐标是（a，－（1/2）a－2）。
　　联立：y＝x、x＝a，得：x＝y＝a，∴点D的坐标是（a，a）。
　　∴｜CD｜＝｜a｜、｜DE｜＝｜－（1/2）a＋2－a｜。
　　∴若存在满足条件的直线x＝a，则有：｜a｜＝2｜－（1/2）a－2－a｜，
　　∴｜a｜＝｜4＋3a｜，∴a＝4＋3a，或a＝3a＋4。
　　由a＝4＋3a，得：a＝－2。　由a＝3a＋4，得：a＝－1。
　　∴此时a的值为 －1 或 －2。

综上一、二所述，得：当b＝2时，a的值为 1 或 2；　当b＝－2时，a的值为 －1 或 －2。

Answer 2

令y＝－（1/2）x＋b中的y＝0，得：x＝2b，∴点A的坐标是（2b，0）。
令y＝－（1/2）x＋b中的y＝0，得：x＝2b，∴点A的坐标是（2b，0）。
联立：y＝－（1/2）x＋b、y＝x，消去x，得：y＝－（1/2）y＋b，∴y＝2b/3。
∴点P的坐标是（2b/3，2b/3）。
依题意，有：△AOP的面积＝（1/2）｜2b｜｜2b/3｜＝8/3，∴b^2＝4，∴b＝±2。
∴AB的方程是y＝－（1/2）x＋2，或y＝－（1/2）x－2。

一、当AB的方程为y＝－（1/2）x＋2时，
　　联立：y＝－（1/2）x＋2、x＝a，消去x，得：y＝－（1/2）a＋2。
　　∴点E的坐标是（a，－（1/2）a＋2）。
　　联立：y＝x、x＝a，得：x＝y＝a，∴点D的坐标是（a，a）。
　　∴｜CD｜＝｜a｜、｜DE｜＝｜－（1/2）a＋2－a｜。
　　∴若存在满足条件的直线x＝a，则有：｜a｜＝2｜－（1/2）a＋2－a｜，
　　∴｜a｜＝｜4－3a｜，∴a＝4－3a，或a＝3a－4。
　　由a＝4－3a，得：a＝1。　由a＝3a－4，得：a＝2。
　　∴此时a的值为 1 或 2。

二、当AB的方程为y＝－（1/2）x－2时，
　　联立：y＝－（1/2）x－2、x＝a，消去x，得：y＝－（1/2）a－2。
　　∴点E的坐标是（a，－（1/2）a－2）。
　　联立：y＝x、x＝a，得：x＝y＝a，∴点D的坐标是（a，a）。
　　∴｜CD｜＝｜a｜、｜DE｜＝｜－（1/2）a＋2－a｜。
　　∴若存在满足条件的直线x＝a，则有：｜a｜＝2｜－（1/2）a－2－a｜，
　　∴｜a｜＝｜4＋3a｜，∴a＝4＋3a，或a＝-3a-4。
　　由a＝4＋3a，得：a＝－2。　由a＝-3a-4，得：a＝－1。
　　∴此时a的值为 －1 或 －2。

Answer 3

LS的第二种情况不可能吧，这是新观察上的题目，应该有图的