Question

四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F求证CD=2OF

Answer 1

取CD中点G，连接OE，OC，OD，OA，BD
因为四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上
所以∠ADB=1/2∠AOB，∠DAC=1/2∠DOC
因为四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，OF⊥AB
则∠AOF=1/2∠AOB=∠ADB ①
因为G为CD中点，OC=OD
所以∠DOG=1/2∠DOC=∠DAC ②，且OG⊥CD
所以∠DOG+∠ODG=90度 ③
因为AC⊥BD于E，则∠ADB+∠DAC=90度 ④
由①，②，③，④得：∠ODG=∠AOF
又∠AFO=∠DGO=90度，OA=OD
所以RT△AFO≌RT△OGD
所以OF=DG=1/2CD
即CD=2OF

Answer 2

【思路:通过添加辅助线把证明"CD=2OF",转化为证明两条线段相等.】

证明:连接AO并延长,交圆O于M,连接BM;AB为直径,则∠ABM=90°.
∵∠ABM=∠AED=90°;∠AMB=∠ADE(同弧所对的圆周角相等)
∴∠BAM=∠CAD(等角的余角相等).
∴弧BM=弧CD,BM=CD.
又∵OF⊥AB.
∴AF=FB;又AO=MO.故OF=(1/2)BM=(1/2)CD,CD=2OF.