Question

已知，如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，求证AC*BD=AB*CD+AD*BC

AC,BD都不是直径，求解释，没有图。

Answer 1

证明：
在AC上取一点E，使∠AED=∠BCD
∵A,B,C,D四点共圆
∴∠DAC=∠DBC
∴⊿DAE∽⊿DBC（AA‘）
∴AD/BD=AE/BC
∴AD×BC=BD×AE..............................①
∵∠DEC=180º-∠AED
∠DAB=180º-∠DBC
∴∠DEC=∠DAB
又∵∠ACD=∠ABD
∴⊿DEC∽⊿DAB（AA’）
∴CD/BD=CE/AB
∴AB×CD=BD×CE........................②
①+②得
AB×CD+AD×BC=BD×（AE+CE）=BD×AC
∴AC×BD=AB×CD+AD×BC

Answer 2

先画一个圆，内接四边形ABCD
连接AC,BD
证明
在BD 上找一点M
作∠BAM=∠CAD
因为 ∠ABD=∠ACD
所以 三角形ABM 相似于 三角形ACD
AB/BM=AC/CD 变形
AB*CD=AC*BM
而且 ∠MAD=∠BAC 又因为 ∠ADM=∠ACB
所以 三角形ADM 相似于 三角形ACB
AD/DM=AC/CB 变形
AD*BC=AC*DM
所以 AD*BC+AB*CD=(DM+BM)*AC=AC*BD
则是托勒密定理，证四点共圆要用的

Answer 3

证明：连接CO并延长交⊙O于P，连接BP，
∵OE⊥BC，∠PBC=90°，BE=EC，PO=OC，
∴OE=1 2 BP，
又∵∠1=∠2，∠PBD=90°-∠1，∠ADB=90°-∠2，
∴∠PBD=∠ADB，
∴ 弧PD =弧 AB ，
∴ 弧PB = 弧AD ，
故BP=AD，
即OE=1/ 2 BP=1/2 AD．