Question

设函数f(x)=(x^2)·[e^(x-1)]-ax^3+bx^2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点。(1)求a和b值。(2)讨论a和b的单调性

(3)设g(x)=2/3·x^3,试比较f(x)和g(x)的大小。

Answer 1

(1) 对f(x)求导得：f ' (x)=2x[e^(x-1)]+(x^2)[e^(x-1)]-3ax^2+2bx
将x=-2, x=1 分别代入上式：
f ' (-2)= - 4e^( - 3)+4e^( - 3)-12a-4b=0
f ' (1)=2+1-3a+2b=0
解得：a= 1/3 b= -1
(2) 应该是讨论 f(x) 的单调性吧（提示一下）
将所求a，b的值代入f(x)后，其导数 f '(x) >=0,为单调递增的，f '(x) <=0为单调递减的，可以考虑利用上面的极值点。
(3) 令F(x)=f(x)-g(x),判断F(x) 单调性即可，可以利用导数，与(2)类似。 如果F(x)单调递增，则f(x)>g(x)，否则f(x)<g(x).