Question

线性代数求解 急！ 设A是m×n实矩阵，证明A^T A正定的充要条件是r(A)=n

Answer 1

若r(A)=n，注意Ax＝0的充分必要条件是x＝0。则对任意的非零x，有Ax非零，于是x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)>0，故A^TA正定。反之，设A^TA正定。若r(A)<n，则存在非零向量x使得Ax=0，于是x^TA^TAx=（Ax)^T(Ax)=0，矛盾。故A必满秩。