Question

已知实数x、y满足方程X^2+Y^2-4X+1=0.求： （1）y/x的最大值和最小值； （2）y-x的最小值

Answer 1

X^2+Y^2-4X+1=0.两端÷x^2,1+(y/x)^2-4/x+1/x^2
(y/x)^2=-1/x^2+4/x-1=-(1/x-2）^2+3
当x=1/2,y/x的最大值根号3，y/x的最小值-根号3

（2）y-x为y-x=m与X^2+Y^2-4X+1=0的交点
当m有最小值，y-x=m与（x+2)^2+y^2=3相切
（-2,0)到y-x=m的距离为根号3
（m-2）^2=6
m最小值2-根号6

Answer 2

知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0,(1)求y/x的最大值和最小值；（2）求y-x的最小值；（3）求x^2+y^2的最大值和最小值．
圆的方程为(x-2)^2+y^2=3 ,圆心为(2,0)
(1).设y/x =k ,则y=kx ,当直线y=kx 与圆相切时，k有最大最小值
因为 R = |2k-0|/√(1+k^2)
所以4k^2 = 3(1+k^2) ,解得：最大k=√3 ，最小k=-√3
(2).设y-x=k ,则y=x+k ,把y=x+k代入x^2+y^2-4x+1=0中得：
2x^2 +2(k-2)x +k^2 +1=0
因为△≥0 ，所以4(k-2)^2 -8(k^2+1)≥0
解得：√6-2≤k≤√6+2 ,最小k= √6-2
(3).因为圆的方程为(x-2)^2+y^2=3
所以设x=2+√3*cosa ，y=√3*sina
所以x^2 +y^2 = 4+4√3*cosa + 3*(cosa)^2 + 3*(sina)^2
= 7 + 4√3*cosa
因为-1≤cosa≤ 1 ,所以 7-4√3≤x^2 +y^2 ≤7+4√3
所以最大(x^2+y^2)=7+4√3 ,最小(x^2+y^2)=7-4√3

Answer 3

解：（1）设y/x=t,代入原方程得x^2+(tx)^2-4x+1=0 ==> (1+t^2)x^2-4x+1=0,其判别式不小于0,故(-4)^2-4(1+t^2)>=0 ==> 3-t^2>=0 所以√3 =>t=>-√3，故y/x的最大值和最小值分别是√3、-√3。
（2）设y-x=b，显然这是一条直线方程。题目等同于求该直线与圆相交时b的最大值和最小值。根据圆与直线的关系，直线与圆相切时b取的最大值或最小值。
将y-x=b代入圆方程该方程有一个解时
x^2+(x+b)^2-4x+1=0 ，=>2x^2+(2b-4)x+(b^2+1)=0(2b-4)^2-4*2*(b^2+1)=0
=>-4b^2-16b+8=0=>b^2+4b-2=0
=>b=-2+√6 (最大值) b=-2-√6(最小值)
所以y-x的最小值是-2-√6。

Answer 4

楼主在做这类题的时候要结合图（画草图）才能在考试中得满分的哦
首先化简(x-2)^2+y^2=（√3）^2
(1)：设y/x=k ，则 y=kx，K为直线斜率
直线y=kx与圆(x-2)^2+y^2=3相切，圆心(2,0)到y =kx的距离=|2k|/√(k^2+1)=√3。
k=√3和-√3。y/x的最大值是√3，最小值是-√3。
(2)：设y-x=z，y=-x+z。
直线y=-x+z与圆(x-2)^2+y^2=3相切，圆心(2,0)到y =-x+z的距离=|2-z|/√2=√3。
z=2+-√6。y-x的最大值是2+√6，最小值是2-√6

Answer 5

（1）用数形结合的思想来做，原方程可化为(x-2)^2+y^2=3
所以以（2，0）为圆心，根号3为半径画个圆y/x（过原点的直线的斜率）最大值，最小值为与圆相切的直线的斜率（一个在X上，一个在X下）
最大为根号3，最小为-根号3（自己再算算）
（2）用坐标方程做
x=2+根号3*cosa
y=根号3*sina
y-x=根号3*（sina-cosa)-2
(y-x)mn=-根号6-2