Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为c（1，1）且过原点O，过抛物线上一点P（x，y）向直线 作垂线

垂足为点M．
（1）求a、b、c值．
（2）在直线x=1上有一点F（1、 ），是否存在点P，使以PM为底边的△PFM是等腰三角形？若存在，求点P的坐标，并证明此时△PFM为等边三角形．若不存在，请说明理由．
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由。

Answer 1

解：
1、因为过原点，所以c=0
又因为顶点坐标为（1,1）
所以该抛物线与X轴的另一交点为（2,0）
所以有
a+b=1
4a+2b=0
解得a=-1，b=2
所以该抛物线的解析式为y=-x^2+2x
2、F坐标为？
3、不知是求点N与点P对应时t的对应值（以代数式表示）还是设t为定值进行求证（即N点坐标固定）？
【以下解法是在t为定值时的】不存在。
理由：
设N存在，连接MN，则此时PM=PN
作MN的垂直平分线，则其与抛物线y=-x^2+2x的交点即为点P可能的位置，即于此垂直平分线之外的点Q与M、N连接后均不可能使QM=QN
因为任意直线与抛物线y=-x^2+2x的交点仅有三种情况：
1、没有交点；
2、有且只有一个交点；
3、有两个交点；
所以不可能使抛物线y=-x^2+2x上所有的点与MN的垂直平分线重合，与假设矛盾，即不存在点N（1，t），使PM=PN恒成立

Answer 2

1、过原点，
则c=0(1,1)为顶点，
则有-b/(2a)=1,
将（1,1）代入y=ax^2+bx得a+b=1联立求解，a=-1，b=2y=-x^2+2x2、
P（x,y），由于PM垂直于y=5/4，
所以M坐标为（x,5/4），
又F（1,3/4）根据两点距离公式，MF^2=(x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+1/4PF^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2又y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1,
故 (x-1)^2=1-y所以MF^2=5/4-y, PF^2=(y-3/4)^2+1-y
根据题意有MF=PF，
则5/4-y=(y-3/4)^2+1-y，
得y1=5/4,y2=1/4 (由于顶点（1,1），
故y=5/4不可能在抛物线上，舍弃)
分别将y=1/4代入抛物线方程，
得P点坐标为（(根号3)/2, 1/4）（-(根号3)/2, 1/4）证明：将y代入MF^2=5/4-1得MF=1，故PF=1又PM=|y-5/4|=1, 所以PM=MF=PF,即等边三角形
3、由题意，PM^2=(y-5/4)^2,
PN^2=(x-1)^2+(y-t)^2=1-y+(y-t)^2 【注，y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1】由PM=PN，
得(y-5/4)^2=1-y+(y-t)^2 即y^2-5/2*y+25/16=y^2-(2t+1)y+t^2+1化简得2（t-3/4）y=t^2-9/16=(t+3/4)(t-3/4)2（t-3/4）y=(t+3/4)(t-3/4)恒等的条件是t-3/4=0,即t=3/4

任意直线与抛物线y=-x^2+2x的交点仅有三种情况：
1、没有交点；
2、有且只有一个交点；
3、有两个交点；
所以不可能使抛物线y=-x^2+2x上所有的点与MN的垂直平分线重合，与假设矛盾，即不存在点N（1，t），使PM=PN恒成立

所以不存在，因为当t＜5/4 ，x＜1时，PM与PN不可能相等，
同理，当t＞5/4 ，x＞1时，PM与PN不可能相等．
t=5/4，x=1时，pm=pn

Answer 3

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为c（1，1）且过原点O，
∴-b /2a =1，4ac-b2 /4a =1，且c=0，
解得：a=-1，b=2，c=0；

（2）存在P1（1+ 3 2 ，1 4 ）P2（1- 3 2 ，1 4 ），
作FD⊥PM，
由（1）知y=-x2+2x可设P（x，-x2+2x），M（x，5 4 ），D（x，3 4 ）
依题意得：MD=PD，
∴5 4 -3 4 =3 4 -（-x2+2x），
X=1± 3 2 ，
∴p1=（1+ 3 2 ，1 4 ），p2（1- 3 2 ，1 4 ），
∴Rt△FDM中，FD= 3 2 ，MD=1 2 ，
∴tan∠FMD= 3 ，
∴∠M=60°，
又∵FM=FP，
∴△PFM是等边三角形．

Answer 4

因为顶点为（1,1）过原点，则-b/2a=1 a+b=1 c=0
解之a=-1 b=2 c=0
第二问，过抛物线上一点P（x，y）向直线做垂线，垂足为M。向什么直线做垂线。没看明白。。。能说详细点吗？

Answer 5

(1)把c（1，1），O（0,0）及O点的对称点设为D（2,0）代人解析式可求得，a=-1,b=2,c=0
(2)不知道F点的具体坐标