Question

高中数学，求详细过程

在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD，使其一边CD落在圆的直径上，问应该怎样截取，能使矩形ABCD的面积最大？并求出这个矩形的最大面积。
请不要网上复制的，我读看了，没有合适的，谢谢

Answer 1

设AB,CD边为2x(0<x<R)，则圆心到A的距离为R，则AD=BC=（R^2-X^2)^(1/2)
S=2X*(R^2-X^2)^(1/2)
S的导数=2*（R^2-X^2)^(1/2)-2*X^2/[(R^2-X^2)^(1/2)]=2*(R^2-2x^2)/[(R^2-X^2)^(1/2)]
令S的导数=0
则X=(1/2)^(1/2)R
当x大于0小于(1/2)^(1/2)R时，s的导数大于0，所以s单调增
当x大于(1/2)^(1/2)R小于R时，s的导数小于0，所以s单调减
所以X=(1/2)^(1/2)R时有s的最大值
s=R^2

Answer 2

设角AOD为凸，AD=Rsin凸，CD=2Rcos凸
S=AD*CD=Rsin凸 * 2Rcos凸
∵sin(2凸)=2sin凸*cos凸
所以S=R²sin(2凸)
当sin(2凸)=1时S有最大值 为R²

Answer 3

楼上正解，不想再打遍了，不过看着这么多凸好蛋疼，楼上怎么会选凸作符号呢。。。