Question

设函数f(x)=x|x-1|+m,g(x)=lnx。求详解。完整的过程、

（1）当m>1时，求函数f（x）在[1,m]上的最大值；
（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围。

Answer 1

（1）m>1,1≤x≤m
f(x)=x|x-1|+m=x²-x+m=(x-1/2)²+m-1/4
又1≤x≤m,所以当x=m时，f(x)取得最大值m²
(2)函数p（x）=f（x）-g（x），有零点
即f（x）-g（x）=0有正解，
即存在正数x使 x|x-1|+m-lnx=0
m=lnx-x|x-1|成立
令q(x)=lnx-x|x-1|
当0<x<1时，q(x)=lnx+x ²-1 ,
q‘(x)= 1/x+2x>0总成立为增函数，
q(x)∈(-∞,0)
当x≥1时，q(x)=lnx+1-x ²，
q‘(x)= 1/x-2x=(1-2x²)/x<0总成立，
q(x)为减函数，q(x)∈(-∞,0]
综上，x>0时，q(x)∈(-∞,0]
所以，m≤0