Question

设函数f(x)＝a(x+1x)+2lnx，g(x)＝x2．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（Ⅱ）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．
（Ⅰ）∵f′(x)＝a(1−
1
x2)+
2
x=
ax2+2x−a
x2，∴g'（x）=2x
因为直线l与函f（x），g（x）的图象相切于同一点
ax2+2x−a
x2=2x（4分）
解得x＝1，x＝
a
2（a≠2），（x=-1舍去）f'（1）=2，f（1）=2a；
f′(
a
2)＝a，f(
a
2)＝
a2
4g'（1）=2，g（1）=1；g′(
a
2)＝a，g(
a
2)＝
a2
4
①当x=1时，则l的方程为：y=2x-1
②当x＝
a
2时，又因为点（[a/2，
a2
4)也在f（x）
有a(
a
2+
2
a)+2ln
a
2＝
a2
4]即ln
a
2+
a2
8+1＝0
令h(x)＝ln
a
2+
a2
8+1，h(
2
e2)•h(2e2)＜0
易得方程在a＞0且a≠2一定有解
所以l的方程为y＝ax−
a2
4(a＞0，a≠2)
综上所述直线l的方程为y=2x-1或y＝ax−
a2
4(a＞0，a≠2)（6分）
（Ⅱ）∵f′(x)＝a(1−
,2,设函数 f(x)＝a(x+ 1 x )+2lnx，g(x)＝ x 2 ．
（I）若a＞0且a≠2，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于一点，求切线l的方程．
（II）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．