Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2x^2-2x

(1)当0<b<a时，求证：f(a+b)-f(2a)<(b-a)/2a
(2)当x>1时，不等式k(x-1)<xf(x)+3g
(2)当x>1时，不等式k(x-1)<xf(x)+3g′（x）+4恒成立，求整数k的最大值。（其中g'(x)是g(x)的导函数）

Answer 1

解：
（1）构造函数即可
f(a+b)-f(2a)=ln(a+b)-ln(2a)<(b-a)/2a

即ln(1/2+b/2a)-b/2a+1/2<0
令x=b/a 则0<x<1
再令g(x)=ln(1/2+b/2a)-b/2a+1/2=ln(1/2+x/2)-x/2+1/2
再求导求出单调性，便可求出g(x)最小值<0 即可得证。
（2）还是构造函数
留给你自己做吧。方法都是一样的