Question

已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)，又f'(0)=1，则函数f(x)的解析式为

Answer 1

x=y=0 f(0)=f(0)+f(0)+0 f(0)=0

f(x+y)-f(x)=f(y)+xy(x+y)
f'(x)=lim y->0 [f(x+y)-f(x)]/y=lim [f(y)/y+x(x+y)]=f'(0)+x^2=1+x^2
因此f(x)=积分[1+x^2]dx=x+x^3/3+C
又f(0)=0 得C=0
因此 f(x)=x+x^3/3

Answer 2

，一切x，y都满足等式，还是x，y可以随意取啊这个用特值法啊。因为对一切实数都满足啊，所以假设x=y=0，代入得到2f(0) = f(0)，即f(0)=0;