Question

设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),求证f(x)=0

是不是 我钻牛角尖了—— 一定要用x,y都等于0么

Answer 1

当然也可以不用啦~ （首先说明一下，我们在解这种题的时候经常假设x=0后代入，其目的是想探测 f(x) 是否过原点或者在原点之上还是之下）
既然楼主不想用这种举特例的方法，我们也可以看看函数f(x)的一般特性来证明这一题。
依题意有 f(x+x) = f(x) + f(x)
f(2x) = 2f(x) 对于f(x) 上不同的两点 ( x0, f(x0) )，(2x0, f(2x0) ) ，（不同的两点表示 x0 不等于 0）我们可以计算这两点间的斜率[f(2x0) - f(x0)] / (2x0-x0) = [2f(x0) - f(x0)] / x0 = f(x0) / x0 =
[ f(x0) - 0 ] / ( x0-0 ) 即这两点间的斜率和从 ( x0, f(x0) ）到原点的斜率是一样的。 由于这两点的选择是任意的，所以说明 f(x) 是线性函数，且一定通过原点。

追问

前面 我懂但后面的 斜率和线性函数 还没有学到的

追答

呵呵，慢慢来嘛。代入法是一种简单直接说明直线与原点关系的方法。代入法背后的原理，你以后学习高等数学就会学到了。

Answer 2

函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),
说明 对任意的x和y都满足上市
那么设x=0 y=0
带入得 f(0+0)=f(0)+f(0)
所以 f(0)=2f(0)
得f(0)=0
有不明白的地方 欢迎追问

Answer 3

应该是证f﹙0﹚＝0
证明令y＝0则f﹙x＋0﹚＝f﹙x﹚＋f﹙0﹚＝f﹙x﹚
所以f﹙0﹚＝f﹙x﹚－f﹙x﹚＝0

Answer 4

搞错了吧 ，是求证：f（0)=0

Answer 5

证明：令x=y=0
则f（0）=f（0）+f（0）
所以f（0）=0

Answer 6

只能证f(x)=0