Question

一道高中数学题:已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),①求证:f(

一道高中数学题:已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),①求证:f(x)是奇函数；②若f(-3)=a,用a表示f(12)请写出详细过程 谢谢！

Answer 1

（1）首先，f(x)的定义域为R，∴其定义域是关于原点对称的
其次，证明f(x)+f(-x)=0
令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
令x=-y，则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函数
（2）∵f(x)是奇函数，∴f(3)=-f(-3)=-a
∴令x=y，得f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a

追问

为什么要让x，y为0？

追答

因为要证明f(0)=0,所以要令x=y=0.

追问

那为什么要让x=-y?谢谢

追答

因为要证f(x)+f(-x)=0,故令x=-y

Answer 2

1） 令x=y=0,得：f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0
令y=-x,得：f(x-x)=f(x)+f(-x)
因此有f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
2）令y=x,得f(x+x)=f(x)+f(x)
即f(2x)=2f(x)
故f(4x)=f(2*2x)=2f(2x)=4f(x)
因此f(12)=f(4*3)=4f(3)=-4f(-3)=-4a

Answer 3

①令x＝y＝0，得：f(0)＝f(0)＋f(0)
∴f(0)＝0
再令y＝－x，得：0＝f(x)＋f(－x)
∴f(－x)＝－f(x)
即f(x)是奇函数

②令x＝y，则有：f(2x)＝2f(x)
∴f(12)=2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a

Answer 4