Question

求初三数学难题解答！（高分悬赏）

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值及顶点D的坐标
（2） 探索：
1.在直线AB下方的抛物线上存在一动点F，连接AF，是否存在一点F，使FA⊥AB,若存在，请你直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
2.连接AF、BF，是否存在一点F使△ABF的面积最大？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在（2）的第2.面积最大条件下过点F做X轴的垂线交直线AB与点E，在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请你直接写出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

①A点坐标为(-1,0) ，B点坐标为(4,5)
A、B在抛物线上，代入A、B坐标计算得到抛物线方程为
y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 -4
则有b = -2 , c = -3 , D点坐标为(1,-4)

②直线AB的斜率为 k1 = 1
要找到抛物线上一点F使得FA⊥AB，那么FA的斜率k2须满足 k1·k2 = -1 , 即k2 = -1
设F(m,n) , 则AF斜率 k2 = n/(m + 1) = -1 , 即 n = -m - 1
又因为点F在抛物线上故而有
n = (m-1)^2 -4 = -m-1
解得m = 2 或 m = -1(显然舍去)
故而存在F点满足题意，其坐标为(2,-3)

③F为AB下方抛物线上的一个动点，要使得FAB的面积最大，就是要求出F到直线AB距离最远的点。
将直线AB向下方平移，越向下平移，两条直线距离越远，平移后的直线A'B'与抛物线先有两个交点，然后一个交点（相切），最后相离，显然，当直线A'B'与抛物线相切的时候，向下平移最大，因此切点就是满足题意的点F， 那么设直线A'B'（斜率为1）的方程为 y = x - t
该直线与抛物线y = x^2 -2x -3有且只有一个交点，联立方程根据判别式为零可解得 t = 21/4
解得点F坐标为 (3/2 , -15/4)

④在上一问的前期下，F点坐标为(3/2 , -15/4) , AB的方程为 y = x + 1
那么E点的坐标为(1.5 , 2.5)
因为FE是垂直于x轴的，
如果F是直角顶点，那么过F点做x轴的平行线与抛物线交于另外一点P.
将y = -15/4代入抛物线方程可得 x = 3/2 或1/2，那么P点坐标为(1/2,-15/4)
如果E为直角顶点，那么将 y = 2.5 代入抛物线方程可得 x = 1 ± 根号下6.5

Answer 2

①A(-1,0),B(4,5)
代入得b=-2 c=-3
所以抛物线方程
y=x^2-2x-3
配方(x-1)^2-4=0 ∴D(1,-4)
②1直线AF y=-x-1
连立方程 y=x^2-2x-3
得x=2或-1 ∵在直线AB下方 所以x=2
F(2,-3)
②2 ：过P做AB垂线垂足为M
PM=(x-y+1)/根2
抛物线方程代入 则PM=(x-x^2+2x+3+1)/根2
配方=-(x-3/2)^2+4+9/4
所以F横坐标为3/2 代入抛物线
则F(3/2,-15/4)
③设E(3/2,y)
代入直线y=5/2
E(3/2,5/2)
因为直径所对的圆周角等于90度
所以(-1,0)或(3,0)

Answer 3

1、有图可知B点坐标（4,5）C点坐标（-1,0）
可得方程组：16+4b+c=5,1-b+c=0；b=-2，c=-3 抛物线函数为y=x2-2x-3
顶点公式x=-b/2a=1，代入抛物线方程y=-4；顶点D坐标（1，-4）
2、（1）通过A点做垂线交抛物线于F，FA⊥AB。
直线AB函数：通过A、B坐标可得方程组-a+b=0；4a+b=5，求得ab值，其函数为y=x-1
因直线AF垂直于直线AB，x轴对称，直线AF为直线AB反函数y=-x+1
与抛物线函数组成方程组y=-x+1；y=x2-2x-3 得到x=2，x=-1（为A点坐标）
将x=2代入抛物线方程y=-3 点F坐标（2，-3）
（2）有图可知，过A点垂线AF值最大，所组成三角形面积最大，F坐标（2，-3）
3、由图可知，过A点与抛物线交与F的垂线AF，点F垂直x与直线AB交与点E的三角形中角EAF为直角。点P即点A，坐标（-1,0）

Answer 4

A(-1,0)代入方程得：1-b+c=0 AC=BC=4+1=5 所以B点坐标为：（4，5）代入方程得：16+4b+c=5 由这两个方程得：b=-2 c=-3 所以： y=x2-2x-3 =(x-1)2-4 所以抛物线的顶点D坐标为：（1,-4)
存在（2，-3）使FA⊥AB
存在（1，-4）使△ABF的面积最大
P（-1,0）（3,0）

Answer 5

①A点坐标为(-1,0) ，B点坐标为(4,5)
A、B在抛物线上，代入A、B坐标计算得到抛物线方程为
y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 -4
则有b = -2 , c = -3 , D点坐标为(1,-4)

②直线AB的斜率为 k1 = 1
要找到抛物线上一点F使得FA⊥AB，那么FA的斜率k2须满足 k1·k2 = -1 , 即k2 = -1
设F(m,n) , 则AF斜率 k2 = n/(m + 1) = -1 , 即 n = -m - 1
又因为点F在抛物线上故而有
n = (m-1)^2 -4 = -m-1
解得m = 2 或 m = -1(显然舍去)
故而存在F点满足题意，其坐标为(2,-3)

③F为AB下方抛物线上的一个动点，要使得FAB的面积最大，就是要求出F到直线AB距离最远的点。
将直线AB向下方平移，越向下平移，两条直线距离越远，平移后的直线A'B'与抛物线先有两个交点，然后一个交点（相切），最后相离，显然，当直线A'B'与抛物线相切的时候，向下平移最大，因此切点就是满足题意的点F， 那么设直线A'B'（斜率为1）的方程为 y = x - t
该直线与抛物线y = x^2 -2x -3有且只有一个交点，联立方程根据判别式为零可解得 t = 21/4
解得点F坐标为 (3/2 , -15/4)

④在上一问的前期下，F点坐标为(3/2 , -15/4) , AB的方程为 y = x + 1
那么E点的坐标为(1.5 , 2.5)
因为FE是垂直于x轴的，
如果F是直角顶点，那么过F点做x轴的平行线与抛物线交于另外一点P.
将y = -15/4代入抛物线方程可得 x = 3/2 或1/2，那么P点坐标为(1/2,-15/4)
如果E为直角顶点，那么将 y = 2.5 代入抛物线方程可得 x = 1 ± 根号下6.5

Answer 6

这是个求距离的题，即作直线的垂线，经过平移后，与抛物线相交的最远的点就是P点,用初中的方法就是代换，先设出P点为〔X，Y〕把P点代入抛物线解析式，并且P点满足与直线距离最远的最值即为P点的坐标，过程有点复杂，就是看计算过关没，不想算，自己列式，自己解决~！不需要采纳~