Question

微积分的一道题，求高手解答，需要详细过程，最好能写点说明，谢啦。

Answer 1

首先
x ∫(0,1) f(tx)dt=∫(0,x) f(tx)d(tx)，令tx=u，
即原方程可以化简为
f(x)=∫(0,x) f(u)d(u) +(1-x)*e^2x ，
对等式两边求导可以得到，
f '(x)=f(x) +(1-2x)*e^2x
就得到了一阶线性微分方程：f '(x) - f(x) =(1-2x)*e^2x
由公式可以得到其通解为：
f(x) = e^x(C+∫ e^(-x)*(e^2x-2x*e^2x) dx )
而 ∫ e^(-x)*(e^2x-2x*e^2x) dx
=∫ e^x-2x*e^x dx
=3e^x -2x*e^x
所以f(x)= e^x(C+3e^x -2x*e^x)
而f(0)=1，代入得到C= -2
即f(x)=3e^2x -2x*e^2x -2e^x

不明白再追问我