如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.(1)求证:M...
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:PB⊥平面ADMN.
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(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:PB⊥平面ADMN.
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证明:
(1)连接AC,AC与BD交于G,则面PAC∩面BDM=MG,
由PA∥平面BDM,可得PA∥MG(3分)
∵底面ABCD为菱形,∴G为AC的中点,
∴MG为△PAC的中位线.
因此M为PC的中点.(5分)
(2)取AD中点O,连接PO,BO.
∵△PAD是正三角形,∴PO⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以,PO⊥平面ABCD,(7分)
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,△ABD是正三角形,
∴AD⊥OB.
∴OA,OB,OP两两垂直,建立空间直角坐标系 {OA→,OB→,OP→}(7分)
则A(1,0,0), B(0,3,0),D(-1,0,0),P(0,0,3)
∴ DP→=(1,0,3),AB→=(-1,3,0)
∴ DM→=12(DP→+DC→)=12(DP→+AB→)=(0,32,32)(9分)
BP→=(0,-3,3),CB→=DA→=(2,0,0)
∴ DM→•BP→=0-32+32=0,DM→•CB→=0+0+0=0
∴DM⊥BP,DM⊥CB(11分)
∴DM⊥平面PBC,又DM⊂平面ADM,
∴面ADM⊥面PBC(12分)
(1)连接AC,AC与BD交于G,则面PAC∩面BDM=MG,
由PA∥平面BDM,可得PA∥MG(3分)
∵底面ABCD为菱形,∴G为AC的中点,
∴MG为△PAC的中位线.
因此M为PC的中点.(5分)
(2)取AD中点O,连接PO,BO.
∵△PAD是正三角形,∴PO⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以,PO⊥平面ABCD,(7分)
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,△ABD是正三角形,
∴AD⊥OB.
∴OA,OB,OP两两垂直,建立空间直角坐标系 {OA→,OB→,OP→}(7分)
则A(1,0,0), B(0,3,0),D(-1,0,0),P(0,0,3)
∴ DP→=(1,0,3),AB→=(-1,3,0)
∴ DM→=12(DP→+DC→)=12(DP→+AB→)=(0,32,32)(9分)
BP→=(0,-3,3),CB→=DA→=(2,0,0)
∴ DM→•BP→=0-32+32=0,DM→•CB→=0+0+0=0
∴DM⊥BP,DM⊥CB(11分)
∴DM⊥平面PBC,又DM⊂平面ADM,
∴面ADM⊥面PBC(12分)
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