Question

已知直线l1.l2分别与抛物线x^2=4y相切于点A.B.且A.B两点的横坐标分别为a.b(属于R)

（1），求直线l1.l2的方程。
（2），若l1.l2与x轴分别相交于P.Q，且l1.l2交于点R.经过P.Q.R作圆C。
① ：a=4.b=-2，求圆方程。
②：当a.b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标，不是说明理由。

网上答案R(a+b/2,ab)是错的啊。应该纵坐标是ab/4吧！！

Answer 1

y = x²/4

y' = x/2

(1) 

A(a, a²/4), 该点处的切线斜率为a/2, l1的方程为y - a²/4 = (a/2)(x - a)

y = ax/2 + a²/4

类似地，l2的方程为y = bx/2 + b²/4

(2) 

在l1.l2的方程中取y = 0, 可得P(a/2, 0), Q(b/2, 0)

联立二直线的方程: ax/2 + a²/4 = bx/2 + b²/4

显然a ≠ b, x = (a+b)/2

R((a+b)/2, ab/4)

① a=4.b=-2

P(2, 0), Q(1, 0), R(3, 2)

设圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²

代入3点的可得3个方程:

(2 - m)² + n² = r²

(1 - m)² + n² = r²

(3 - m)² + (2 - n)² = r²

联立可得m = 3/2, n = 3/2, r² = 5/2

(x - 3/2)² + (y - 3/2)² = 5/2

②类似于①, 圆的方程为

[x - (a+b)/4)² + [y - (4+ab)/8]² = (4a²+4b²+a²b²+16)/64

展开可得: x² -(a+b)x/2 + y² - (4+ab)y/4 + ab/4 = 0

取y = 1时， y² - (4+ab)y/4 + ab/4 = 1 - (4+ab) +ab/4 = 1 - 1 - ab/4 + ab/4 = 0

同时再取x = 0, x² -(a+b)x/2 + y² - (4+ab)y/4 + ab/4 = 0

即圆C总过点(0, 1) 

见图，红线为①中圆的方程

绿线和蓝线为a,b取其他值时的圆。