Question

抛物线问题：已知抛物线y^2=4x截直线y=2x+b所得弦长AB=3根号5，试在X轴上求一点P，让三角形ABP的面积为39

关键点在于求出来有两个数，15和-11，那个-11到底要不要舍去，如果要那原有又是什么？我画了精确的图，从图上看-11是可行的 ，但我们老师说要舍去，求解。

Answer 1

联立：y^2＝4x、y＝2x＋b，消去y，得：（2x＋b）^2－4x＝0，∴4x^2＋4bx＋b^2－4x＝0，
∴4x^2＋（4b－4）x＋b^2＝0。

∵A、B都在直线y＝2x＋b上，∴可设A、B的坐标分别是（m，2m＋b），（n，2n＋b）。
显然，m、n是方程4x^2＋（4b－4）x＋b^2＝0的根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝（4－4b）/4＝1－b，mn＝b^2/4。

依题意，有：｜AB｜＝√［（m－n）^2＋（2m－2n）^2］＝3√5，
∴5（m－n）^2＝45，∴（m＋n）^2－4mn＝9，∴（1－b）^2－b^2＝9，
∴1－2b＝9，∴b＝－4。
∴AB的方程是：y＝2x－4，即2x－y－4＝0。

令点P的坐标为（k，0）。则P到AB的距离＝｜2k－4｜/√（4＋1）＝2｜k－2｜/√5。
∴依题意，有：（1/2）×3√5×2｜k－2｜/√5＝39，∴｜k－2｜＝13，
∴k－2＝13，或k－2=－13。∴k＝15，或k＝－11。
∴满足条件的点P的坐标是（15，0），或（－11，0）。

注：线段AB为定值，△PAB的面积也是定值，∴在AB的两侧各有一点，能使△PAB的面积相等，
　　∴满足条件的点P一定有两个。
　　［你的老师说要舍去点（－11，0），是不是你少写的限制条件：点P在x轴的正半轴上?］