Question

）在平面直角坐标系中．过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，

在平面直角坐标系中．过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分别作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，求a，b　的值．

Answer 1

解：（1）∵点M的坐标为（1，2）
∴点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1
∴点M构成的矩形的周长为6，面积为2
∵点M构成的矩形的周长≠面积
∴点M不为和谐点
∵点N的坐标为（4，4）
∴点N到x轴的距离为4，到y轴的距离为4
∴点N构成的矩形的周长为16，面积为16
∵点N构成的矩形的周长=面积
∴点N为和谐点
（2）由题，得点P构成的矩形的周长为6+2a(a>0)或6-2a(a<0)，面积为3a(a>0)或3a(a<0)
∵和谐点P在直线y=-x+b（b为常数）上
∴6+2a=3a(a>0)或6-2a=-3a(a<0)
∴a=6或a=-6
将a=6，y=3代入y=-x+b（b为常数）中，得
-6+b=3
∴ b=9
将a=-6，y=3代入y=-x+b（b为常数）中，得
-（-6）+b=3
∴ b=-3
∴a的值为6或-6，b的值为9或-3

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Answer 2

M点不是和谐点，N点是和谐点。理由是：点M构成的矩形周长是6，面积是2.而点N构成的矩形周长是16，面积是16.
根据题意得：点P构成的矩形周长是6+2a(a>0)或6-2a(a<0)，面积是3a(a>0)或3a(a<0)，因为点P是和谐点则6+2a=3a(a>0)或6-2a=-3a(a<0)，则a=6或a=-6，且3=-a+b，b=9或b=-3

Answer 3

(1)点M不是，因为：周长等于2x（1+2）=6，而面积是1x2=2，所以不是和谐点。
点N是，因为：周长等于2x（4+4）=16，而面积是4x4=16，所以是和谐点。

(2)若P为和谐点，则满足：
2（∣a∣+3）=3x∣a∣.解得a=6或-6
当a=6时代入y=-x+b中求得b=9
当a=-6时代入y=-x+b中求得b=-3

Answer 4

解：（1）M点不是和谐点，N点是和谐点。
理由是：点M构成的矩形周长是6，面积是2.而点N构成的矩形周长是16，面积是16.

（2）由题，得点P构成的矩形的周长为6+2a(a>0)或6-2a(a<0)，面积为3a(a>0)或3a(a<0)
∵和谐点P在直线y=-x+b（b为常数）上
∴6+2a=3a(a>0)或6-2a=-3a(a<0)
∴a=6或a=-6
将a=6，y=3代入y=-x+b（b为常数）中，得
-6+b=3
∴ b=9
将a=-6，y=3代入y=-x+b（b为常数）中，得
-（-6）+b=3
∴ b=-3
∴a的值为6或-6，b的值为9或-3

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Answer 5

（1）M作垂线则围成的长方形周长是6，面积是2，周长不等于面积。不是和谐点，N作垂线围成的正方形周长是16，面积是16 ，周长=面积，N是和谐点。（2）P点做垂线长方形则周长=2*（a+3)，面积=3*a，则3*a=2*(a+3),解得a=6，代入方程6=-3+b解得b=9 。