Question

圆的方程

已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-20=0
1.求证：不论m取何实数，曲线C恒过一定点
2.求证：当m不等于2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定植线上
3.若曲线C与y轴相切，求m的值

Answer 1

1.x=4,y=-2代入曲线方程
16+4-16m-4m+20m-20=0
等式成立，故不论m取何实数，曲线C恒过一定点（4，-2）
2.（x-2m)^2+(y+m)^2-5m^2+20m-20=0
（x-2m)^2+(y+m)^2-5(m^2-4m+4)=0
(x-2m)^2+(y+m)^2=5(m-2)^2
当m≠2时，5（m-2)^2>0
所以，曲线C是一个圆，其圆心（2m，-m) 满足：y=-x/2
故圆心在一条定直线上
3.曲线C与y轴相切，则圆心到y轴的距离等于半径： |2m|=√5|m-2|
4m^2=5(m-2)^2=5m^2-20m+20
m^2-20m+20=0
(m-10)^2=80
m-10=±4√5
m=10±4√5
m的值为10±4√5
补充说明：因为不论m取何实数，曲线C恒过一定点，可令m=1,2，3得到三个圆，求出交点，然后验证。当你无法找出那个定点时采用的办法。