Question

已知f'(e的x次方）=1+x，求f(x)

Answer 1

设e^x=t
则x=lnt
f'(t)=1+lnt
故f(t)=∫(1+lnt)dt=t+tlnt-t+C=tlnt+C
即f(x)=xlnx+C

Answer 2

f'(e^x) = 1+x
令t=e^x，x=lnt，代入
f'(t) = 1+lnt
f'(x) = 1+lnx
f(x) = ∫(1+lnx) dx
= ∫ dx + ∫lnx dx
= x + (xlnx - x) + C
= xlnx + C

∴f(x) = xlnx + C，C为任意常数