Question

求解高一数学：定义在R+上的函数f(x)满足①对任意m有f(x^m)=mf(x),②f(2)=1

(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立
(2)证明：f(x)是R+上的单调增函数
(3)若f(x)+f(x-3)≤2，求x的取值范围

要过程。快一点谢谢^^

Answer 1

1.f(xy)=f[e^(lnx+lny)]=(lnx+lny)f(e)
f(x)+f(y)=f[e^lnx]+f[e^lny]=lnxf(e)+lnyf(e)
所以f(xy)=f(x)+f(y)
2.任取0<x1<x2
f(x2)-f(x1)=f[x1*(x2/x1)]-f(x1)=f(x1)+f(x2/x1)-f(x1)=f(x2/x1)
而f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0
f(x2/x1)=f[2^log2(x2)/2^log2(x1)]=f[2^(log2(x2/x1)]=log2(x2/x1)f(2)>0
所以f(x)为增函数
3.f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤2
f(4)=log2(4)f(2)=2
所以x(x-3)≤4
-1≤x≤4
而x-3>0
故3<x≤4

Answer 2

我已求出f(-1/2)=0了了了……麻烦用x1，x2代，谢谢~~好，快的话有(2)求证:f(x)在定义域R上单调递增 证明：(1)令m=n=1/2,则f(1)=