在△ABC中，边AB=AC,有一个圆内切于△ABC的外接圆，并且与AB，AC分别相切于P，Q。
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解：证明：设小圆圆心为O1，⊙O1与△ABC的外接圆切于D，连AO1，
则AO1⊥PQ，△ABC为等腰三角形，
∴AO1过△ABC的外接圆，D在AO1的延长线上，
∴O为△ABC的顶角∠BAC的平分线的点，
连接OB、PD、QD，
由对称性可知，OD平分∠PDQ，
∵∠APQ=∠PDQ，PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
∵由P、B、D、O四点共圆，
∴∠PBO=∠PDO= ∠PDQ，
∴∠PBO= ∠ABC．
∴O为△ABC的内心．
则AO1⊥PQ，△ABC为等腰三角形，
∴AO1过△ABC的外接圆，D在AO1的延长线上，
∴O为△ABC的顶角∠BAC的平分线的点，
连接OB、PD、QD，
由对称性可知，OD平分∠PDQ，
∵∠APQ=∠PDQ，PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
∵由P、B、D、O四点共圆，
∴∠PBO=∠PDO= ∠PDQ，
∴∠PBO= ∠ABC．
∴O为△ABC的内心．
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