Question

如图，已知直线PA交圆O于A，B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且AC平分角PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D

(1)求证：CD为圆O的切线；（2）若DC+DA=6，圆O的直径为10，求AB的长度。

Answer 1

（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．

Answer 2

（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x1=2，x2=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．

Answer 3

非常简便：设DA=Y.连接OC，过O作OF⊥AB。可得AF=OC-DA=5-Y
又∵OF=CD=6-Y 在△OFA中用勾股定理，求得Y=2 Y=9舍去 ∴AF=3
垂径定理 AB=6 耶 ！

Answer 4

（1）证明：连接OC． ∵点C在⊙O上，OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC． ∵CD⊥PA， ∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°． ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC=∠CAO． ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°． 又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线． （2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°， ∴OC=FD，OF=CD． ∵DC+DA=6， 设AD=x，则OF=CD=6-x， ∵⊙O的直径为10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2． 即（5-x）2+（6-x）2=25， 化简得x2-11x+18=0， 解得x=2或x=9． ∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去， ∴x=2， 从而AD=2，AF=5-2=3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6

Answer 5

连结OC ∵AO=CO ∴角OAC=角OCA ∵∠DAC=∠CAE 所以∠DAC=∠ACO ∴DA平行于CO ∴∠DCO=180°-∠ADC=90° 即：OC⊥CD 即，CD 为圆O的切线