利用定积分求极限
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用罗贝塔法则，这个是变上限积分求导
分子求导 [∫ √tant dt (sinx 0)] ' = cosx 乘以 √tan(sinx)
分母求导 [∫ √sint dt (0 tanx )] ' = - 1/(cos x )^2 乘以 √sin(tanx)
分子分母求导后 原式= - (cos x)^3 乘以 √tan(sinx) / √sin(tanx)
x趋向于0+，所以 - (cos x)^3= -1 ,sinx与tanx等价无穷小于x,
所以 √tan(sinx) / √sin(tanx) = √tanx / √sinx = 1 / √cosx =1
所以原式= -1
分子求导 [∫ √tant dt (sinx 0)] ' = cosx 乘以 √tan(sinx)
分母求导 [∫ √sint dt (0 tanx )] ' = - 1/(cos x )^2 乘以 √sin(tanx)
分子分母求导后 原式= - (cos x)^3 乘以 √tan(sinx) / √sin(tanx)
x趋向于0+，所以 - (cos x)^3= -1 ,sinx与tanx等价无穷小于x,
所以 √tan(sinx) / √sin(tanx) = √tanx / √sinx = 1 / √cosx =1
所以原式= -1
追问
可以直接把sinx与tanx等价吗？
追答
不要那么做，这道题目的式子比较简单，所以你直接等价以后再计算，貌似差别不大，但如果被积函数的积分上下限出现类似（sinx +tanx）这样的式子，或者被积函数里出现（sinx +tanx）这样的两无穷小量相加的情况，直接用等价无穷小就会导致错误。而且，出这道题目的目的就是考察变限积分的求导和罗贝塔法则，使用正确的方法做，以后遇到类似的题目就可以举一反三了。
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