Question

已知：如图12，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB的中点，连接ME,MD,ED.

(1)求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DBE （3）设AB=4，∠DBE=30°，请你求出△EDM的面积。 用初三的方法求，不要什么共圆之类的方法，没学。

Answer 1

（1）
DM是Rt△ABD斜边上的中线，可得：DM = BM ；
EM是Rt△ABE斜边上的中线，可得：EM = BM ；
所以，DM = EM ，
即有：△MED为等腰三角形。
（2）
因为，DM = BM ，EM = BM ，
所以，∠MBD = ∠MDB ，∠MBE = ∠MEB ，
可得：∠AMD = ∠MBD+∠MDB = 2∠MBD ，∠AME = ∠MBE+∠MEB = 2∠MBE ，
所以，∠EMD = ∠AMD-∠AME = 2(∠MBD-∠MBE) = 2∠DBE 。
（3）
在等腰△MED中，∠EMD = 2∠DBE = 60° ，
则△MED是等边三角形，边长为 DM = BM = AB/2 = 2 ，
所以，△EDM的面积为 √3 。

Answer 2

（1）
DM是Rt△ABD斜边上的中线，可得：DM = BM ；
EM是Rt△ABE斜边上的中线，可得：EM = BM ；
所以，DM = EM ，
即有：△MED为等腰三角形。
（2）
因为，DM = BM ，EM = BM ，
所以，∠MBD = ∠MDB ，∠MBE = ∠MEB ，
可得：∠AMD = ∠MBD+∠MDB = 2∠MBD ，∠AME = ∠MBE+∠MEB = 2∠MBE ，
所以，∠EMD = ∠AMD-∠AME = 2(∠MBD-∠MBE) = 2∠DBE 。
（3）
在等腰△MED中，∠EMD = 2∠DBE = 60° ，
则△MED是等边三角形，边长为 DM = BM = AB/2 = 2 ，
所以，△EDM的面积为 √3 。

Answer 3

（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一般，得到ME=EM（△ADB和△AEB中）即证

（2）A,B,D,E四点共圆，且M为圆心，AB为直径；
∴ ∠DME=2∠DAE
又 ∠DAE=∠DBE （余角定义）
∴∠EMD＝2∠DBE

（3）由（1）（2）可知，∠EMD=60°，，△MDE为等边三角形；；ME=1/2AB=2
S△DME=2×根号3÷2=根号3

Answer 4

由题设可知：
DM是Rt△ABD斜边上的中线，则：DM = BM ；
EM是Rt△ABE斜边上的中线，则：EM = BM ；
即得 DM = EM ，
从而证明三角形MED为等腰三角形
（2）
因为，DM = BM ，EM = BM ，
所以，∠MBD = ∠MDB ，∠MBE = ∠MEB ，
可得：∠AMD = ∠MBD+∠MDB = 2∠MBD ，∠AME = ∠MBE+∠MEB = 2∠MBE ，
所以，∠EMD = ∠AMD-∠AME = 2(∠MBD-∠MBE) = 2∠DBE 。
（3）
在等腰△MED中，∠EMD = 2∠DBE = 60° ，
则△MED是等边三角形，边长为 DM = BM = AB/2 = 2 ，
所以，△EDM的面积为 √3 。

Answer 5

2